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公务员考试行测数量关系备考:剩余定理
发布时间:2019-08-27 15:48:48    |    发布人: 博学教育    |    点击次数: 87

《孙子算经》是我国古代重要的数学著作。书中有这样的叙述:“今有雉兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问雉兔各几何?”这是我们已经学习过的鸡兔同笼问题,相信大家已经能够轻而易举的解决了。今天,公考资讯网就带领大家再来看看书中另一段记载,其卷中第26题:“今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何?答曰:‘二十三’”。《孙子算经》中不但提供了答案,而且还给出了解法。那么,今天就带着这个疑问,来学习感受一下古人的智慧。

一、中国剩余定理之由来

有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二。问物几何?即,一个整数除以三余二,除以五余三,除以七余二,求这个整数。《孙子算经》中首次提到了同余方程组问题,以及以上具体问题的解法,因涉及到余数问题,所以将其称为中国剩余定理,也称为孙子定理。

二、解题思路之探索

设这个整数为X,则有列式X÷3=Y………2(1),X÷5=M………3(2),X÷7=N………2(3),观察三个列式,我们发现同一个整数,除以不同的数字,余数有两式都为2。因此,我们结合1与3式可以得出,如果没有余数,也就是可以先将这个整数加了2就可以整除3与7,则可以写成通式X=21n+2。同时,这个整数满足2式,当n为1时,X=23,除以5余数为3,所以,同理最终这个整数X是23的整数倍数字即可,则符合题意最小的整数值为23。

到此,我们就把这道题目解决了,中国剩余定理就是求解同余式组的方法解题。那么,古人还总结了规律特征,接下来我们一起来深入了解,并学习巩固该解题思路。

三、特殊模型及方法

(1)余同加余

如果两个除式的被除数相同,余数相同,那么这个被除数的值等于两个除数的最小公倍数的倍数加余数。例如,X÷3=………1,X÷4=………1,则X=12n+1。

(2)和同加和

如果两个除式的被除数相同,除数与余数的和相同,那么这个被除数的值等于两个除数的最小公倍数的倍数加上除数与余数的和。例如,X÷3=………2,X÷4=………1,两个列式的相同余数可以是5(商的值小1,余数就加一个除数),像5这样的数字是广义上的余数,我们叫做同余余数,从而转化为模型1余数相同的情况,所以X表示为12n+5。

(3)差同减差

如果两个除式的被除数相同,除数与余数的差相同,那么这个被除数的值等于两个除数的最小公倍数的倍数减去除数与余数的差。例如,X÷3=………1,X÷4=………2,两个列式的相同余数可以是-2(商的值大1,余数就减去一个除数),从而又转化为模型1余数相同的情况,因此X表示为12n-2。

总结出的三个基本模型帮助我们解题,大家一定在理解的基础上记住规则,这样可以更快速的解题。那么,对于有的题目不能运用以上三个模型的时候,我们还有更为通用的方法,逐步满足法,一起来看吧。

解题步骤:先满足一个条件,再满足另一个条件,直到满足所有条件。

例题1:一个数,除以5余1,除以3余2。问这个数最小是多少?

【参考解析】观察特征,并不是三类模型的题目,所以采用逐步满足。把除以5余1的数从小到大排列:1,6,11,16等等。然后从小到大找到除以3余2的数值,发现最小的数是11。

例题2:一个班学生分组做游戏,如果每组三人就多两人,每组五人就多三人,每组七人就多四人,问这个班最少有多少名学生?

【参考解析】我们把题目整理为,一个整数除以3余2,除以5余3,除以7余4。没有同余的情况,采用逐步满足法,就是从除7余4的数,例如4,11,18,25等等,这些数字中找出符合除以5余3的数值,就是再4上一直加7,直到数值除5余3,得出该数为18。接下来只要在18上一直加7和5得最小公倍数35,例如53,88,123等等,这些数值中找出满足除以3余2的数值,符合所有条件的最小数字为53,因此该题答案为53人。

 

 

 

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